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Les $(X_i)_{i \\ge 1}$ sont supposées indépendantes et identiquement distribuées, et indépendantes de $N$ (indépendance fréquences - coûts).\n", "\n", "Une modélisation classique est de considérer \n", "\n", "- $N$ de loi de Poisson de paramètre $\\lambda > 0$, \n", "- $X_1$ de loi log-normale de paramètres $\\mu > 0$, $\\sigma^2 > 0$, c'est à dire $X_1 = \\exp(G_1)$ avec $G_1 \\sim \\mathcal{N}(\\mu, \\sigma^2)$. \n", "\n", "Le but est d'estimer la **probabilité de dépassement** c'est à dire calculer la probabilité que la charge sinistre totale dépasse un seuil $K$:\n", "\n", "$$\n", " p = \\mathbf{P}\\bigl[S > K\\bigr] \\quad \\text{pour $K$ grand}\n", "$$\n", "\n", "Dans la suite on prend $\\lambda = 10$, $\\mu = 0.1$ et $\\sigma = 0.3$ et on considère plusieurs valeurs du seuil $K$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "0c00bdf6-02a1-4f80-90bd-41b25134f0ff", "metadata": { "editable": true, "slideshow": { "slide_type": "" }, "tags": [] }, "source": [ "On utilisera la notation $S^{(\\lambda)}$ pour indiquer la dépendance de variable aléatoire $S = \\sum_{i=1}^{N} X_i$ en le paramètre $\\lambda > 0$ (paramètre de la loi de Poisson sous-jacente). On s'intéresse à la sensibilité de la probabilité $p$ en fonction de lambda c'est à dire \n", "$$\n", " \\frac{\\partial}{\\partial \\lambda} p(\\lambda) = \\frac{\\partial}{\\partial \\lambda} \\mathbf{P} \\bigl[ S^{\\lambda} > K \\bigl].\n", "$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "965ce11d-62ad-48be-9ebb-881ef2c6de88", "metadata": { "editable": true, "slideshow": { "slide_type": "" }, "tags": [] }, "source": [ "## Méthode des différences finies\n", "Implémenter l'estimateur Monte Carlo basé sur les différences finies d'ordre 2\n", " \n", "$$\n", " \\frac{\\partial}{\\partial \\lambda} p(\\lambda) = \\frac{p(\\lambda + h) - p(\\lambda- h)}{2h} + \\mathcal{O}(h^2)\n", "$$\n", "Comme vu en cours, il y a plusieurs façon d'implémenter l'estimateur Monte Carlo dans ce cadre biaisé. \n", "\n", "Le **premier estimateur** naïf $J^{(1)}_{n,h}(\\lambda)$ est basé sur des réalisations indépendantes de $S^{(\\lambda+h)}$ et $S^{(\\lambda-h)}$ et n'est pas efficace: la variance explose lorsque $h$ tend vers 0. Ainsi on pose\n", "\n", "$$\n", " J^{(1)}_{n, h}(\\lambda) = \\frac{1}{2 h n} \\bigl( \\sum_{k = 1}^n \\mathbf{1}_{\\{S^{(\\lambda+h)}_k > K\\}} - \\sum_{k = 1}^n \\mathbf{1}_{\\{\\tilde S^{(\\lambda-h)}_k > K\\}} \\bigr),\n", "$$\n", "où $(S^{(\\lambda+h)}_k)_{k \\ge 1}$ et $(\\tilde S^{(\\lambda-h)}_k)_{k \\ge 1}$ sont des suites indépendantes de variables aléatoires _i.i.d._.\n", "\n", "Le **deuxième estimateur** $J^{(2)}_{n,h}(\\lambda)$ utilise des réalisations fortements corrélées de la loi de Poisson au sens suivant: on utilise la même réalisation uniforme $U$ pour constuire deux réalisations $N^{(\\lambda+h)}$ et $N^{(\\lambda-h)}$ en utilisant la méthode de l'inverse de la fonction de répartition. Dans ce deuxième estimateur, les lois log-normales sont indépendantes. On a donc\n", "\n", "$$\n", " J^{(2)}_{n, h}(\\lambda) = \\frac{1}{2 h n} \\sum_{k = 1}^n \\bigl(\\mathbf{1}_{\\{S^{(\\lambda+h)}_k > K\\}} - \\mathbf{1}_{\\{\\bar S^{(\\lambda-h)}_k > K\\}} \\bigr),\n", "$$\n", "où pour $k \\ge 1$, $S^{(\\lambda+h)}_k = \\sum_{i = 1}^{G(\\lambda+h, U_k)} X_{i,k}$ et $\\bar S^{(\\lambda-h)}_k = \\sum_{i = 1}^{G(\\lambda-h, U_k)} \\bar X_{i,k}$ avec $G(\\lambda, u)$ l'inverse généralisée de la loi de Poisson de paramètre $\\lambda$, $(U_k)_{k \\ge 1}$ suite _i.i.d._ uniforme sur $[0,1]$ indépendante de $(X_{i,k})_{i\\ge1, k\\ge 1}$ et $(\\bar X_{i,k})_{i\\ge1, k\\ge 1}$ deux suites (doublement indicées) _i.i.d._ de loi log-normale (de paramètres $\\mu$ et $\\sigma$ inchangés).\n", "\n", "Un **troisième estimateur** $J^{(3)}_{n,h}(\\lambda)$ utilise des réalisations fortements corrélées de la loi de Poisson et des variables aléatoires log-normales communes. \n", "\n", "$$\n", " J^{(3)}_{n, h}(\\lambda) = \\frac{1}{2 h n} \\sum_{k = 1}^n \\bigl(\\mathbf{1}_{\\{S^{(\\lambda+h)}_k > K\\}} - \\mathbf{1}_{\\{S^{(\\lambda-h)}_k > K\\}} \\bigr),\n", "$$\n", "où pour $k \\ge 1$, $S^{(\\lambda+h)}_k = \\sum_{i = 1}^{G(\\lambda+h, U_k)} X_{i,k}$ et $S^{(\\lambda-h)}_k = \\sum_{i = 1}^{G(\\lambda-h, U_k)} X_{i,k}$ avec $G(\\lambda, u)$ l'inverse généralisée de la loi de Poisson de paramètre $\\lambda$, $(U_k)_{k \\ge 1}$ suite _i.i.d._ uniforme sur $[0,1]$ indépendante de $(X_{i,k})_{i\\ge1, k\\ge 1}$ une suite (doublement indicée) _i.i.d._ de loi log-normale." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "6299f26f-2fdf-4f27-84bb-6b7186050017", "metadata": { "editable": true, "slideshow": { "slide_type": "" }, "tags": [ "question" ] }, "source": [ "### Question: plusieurs estimateurs des différences finies \n", "\n", "On fixe les paramètres $\\lambda = 10$, $\\mu = 0.1$, $\\sigma = 0.3$ et $K = 20$.\n", "Programmer ces 3 estimateurs pour différentes valeurs de $h$ (par exemple, $h=1$, 0.5, 0.1 et 0.01), et donner le résultat des estimateurs Monte Carlo avec $n = 50\\,000$.\n", "\n", "Que se passe-t-il lorsque $h$ tend vers 0? Comparez le comportement pour ces 3 estimateurs. Il est très important de bien interpréter ces tableaux de résultats et de conclure qu'il faut utiliser l'estimateur $J^{(3)}_{n, h}(\\lambda)$ et en aucun cas l'estimateur $J^{(1)}_{n,h}(\\lambda)$.\n", "\n", "_Remarque_: on considère ici uniquement l'étude de l'erreur statistique dûe à la méthode de Monte Carlo. On ne considère pas l'erreur de biais qui décroît lorsque $h$ tend vers 0 et qui est peut-être non négligeable pour $h = 1$. Les IC construits ici sont biaisés et on ne peut pas affirmer que la vraie valeur est dans l'IC à 95% (au moins pour les grandes valeurs de $h$). " ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "fda0d814-6f9f-4f83-9a5e-5a69ec1ad09e", "metadata": { "editable": true, "slideshow": { "slide_type": "" }, "tags": [ "aremplir" ] }, "outputs": [], "source": [] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": ".venv", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.14.2" }, "toc-autonumbering": true }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }